Wyobraź sobie, że jutro możesz zginąć. Masz 1 na 3 szansę na ocalenie. Strażnik mówi Ci, kto na pewno zginie spośród dwóch współwięźniów. Czy Twoje szanse właśnie wzrosły do 1 na 2? Intuicja mówi: tak. Matematyka mówi: nie. To problem trzech więźniów — klasyczna pułapka probabilistyczna, która od dekad myli studentów, profesorów i sędziów.
Treść problemu
Trzech więźniów — A, B i C — oczekuje na egzekucję. Jeden z nich zostanie ułaskawiony, ale dowie się o tym dopiero przed wykonaniem wyroku. Strażnik wie, kto zostanie ułaskawiony.
Więzień A prosi strażnika:
„Wiem, że jutro dwóch z nas zginie, a jeden przeżyje. Nie powiesz mi, jaki jest mój los — rozumiem to. Ale czy możesz mi powiedzieć, który z moich dwóch współwięźniów na pewno zginie? Nie zdradziłbyś żadnej informacji o moim losie.”
Strażnik uznaje to za rozsądne i mówi: „Więzień B na pewno zginie.”
Więzień A rozumuje: „Skoro B na pewno zginie, pozostali to A i C. Jeden z nas przeżyje — więc mam teraz 50% szans na ocalenie zamiast poprzednich 33%.”
Czy więzień A ma rację?
Rozwiązanie — intuicja jest błędna
Więzień A nie ma racji. Jego szanse na ocalenie nadal wynoszą 1/3, nie 1/2. Informacja o losie więźnia B nie zmieniła jego sytuacji — mimo że intuicyjnie tak to odczuwamy.
Dlaczego? Kluczem jest zrozumienie, jak strażnik wybiera, o kim powiedzieć.
Analiza przez przypadki
Rozważmy wszystkie możliwe scenariusze (mała litera = ułaskawiony):
| Kto ułaskawiony | Prawdopodobieństwo | Co może powiedzieć strażnik |
|---|---|---|
| a (A ocalony) | 1/3 | „B zginie” lub „C zginie” — strażnik wybiera losowo |
| b (B ocalony) | 1/3 | Może powiedzieć tylko „C zginie” (nie może powiedzieć o A, bo A pyta, ani o B, bo B ocaleje) |
| c (C ocalony) | 1/3 | Może powiedzieć tylko „B zginie” |
Strażnik powiedział „B zginie”. W których scenariuszach to możliwe?
- Gdy A jest ocalony (prob. 1/3) — strażnik powiedział „B” z prawdopodobieństwem 1/2 → łączne: 1/3 × 1/2 = 1/6
- Gdy C jest ocalony (prob. 1/3) — strażnik musiał powiedzieć „B” → łączne: 1/3 × 1 = 1/3
Suma (normalizacja): 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2
Prawdopodobieństwo, że A zostanie ocalony, biorąc pod uwagę, że strażnik powiedział „B zginie”:
P(A ocalony | strażnik powiedział B) = (1/6) ÷ (1/2) = 1/3
Natomiast prawdopodobieństwo, że C zostanie ocalony:
P(C ocalony | strażnik powiedział B) = (1/3) ÷ (1/2) = 2/3
Wniosek: szanse A nie zmieniły się (wciąż 1/3), ale szanse C wzrosły do 2/3. Gdyby więzień A mógł zamienić się miejscami z C, powinien to zrobić.
Dlaczego intuicja nas myli?
Błąd więźnia A polega na pominięciu informacji warunkowej: strażnik nie mógł wymienić imienia A (bo A pyta) i nie mógł wymienić osoby ułaskawionej. Te ograniczenia sprawiają, że odpowiedź „B zginie” jest znacznie bardziej prawdopodobna w scenariuszu, gdy to C jest ocalony — niż gdy ocalony jest A.
To jest sedno wnioskowania bayesowskiego: prawdopodobieństwo zdarzenia należy aktualizować nie tylko o to, jaką informację otrzymaliśmy, ale też o to, jak i dlaczego ją otrzymaliśmy.
Związek z paradoksem Monty’ego Halla
Problem trzech więźniów jest matematycznie identyczny ze słynnym paradoksem Monty’ego Halla (z teleturnieju „Let’s Make a Deal”). Zawodnik wybiera jedne z trzech drzwi. Prowadzący — wiedząc, za którymi drzwiami jest nagroda — otwiera jedne z pozostałych (za którymi nie ma nagrody) i pyta, czy zawodnik chce zmienić wybór.
Intuicja mówi: nie ma sensu zmieniać, bo teraz szanse są 50/50. Matematyka mówi: zmień — szanse wzrastają z 1/3 do 2/3. Dokładnie tak samo jak z więźniem C.
Oba paradoksy ilustrują tę samą zasadę: nowa informacja zmienia prawdopodobieństwa nierówno, gdy osoba dostarczająca informacji działa według określonych zasad (nie może mówić wszystkiego, musi respektować pewne ograniczenia). Ignorowanie tego prowadzi do błędnego wnioskowania — i do decyzji gorszych niż te podejmowane w ciemno.
