Paradoks trzech więźniów

Paradoks więźnia, paradoks trzech więźniów lub dylemat więźnia to bardzo ciekawy problem w teorii gier.

Paradoks skazanego

W trzech celach osadzono trzech więźniów A, B i C. Sposób rozmieszczenia cel wyklucza porozumiewanie się między nimi. Nazajutrz więźniowie zostaną straceni, lecz z okazji nadchodzącego święta jeden z nich został już losowo ułaskawiony, lecz dowie się o tym dopiero przed samą egzekucją. O fakcie ułaskawienia jednego z nich wszyscy więźniowie wiedzą, gdyż jest to tradycja. Korytarz między celami patroluje strażnik, który wie już, który z więźniów zostanie ułaskawiony.

Więzień A nie radzi sobie z nerwami i zagaduje strażnika mówiąc:

“Słuchaj, nie mogę już wytrzymać w tym napięciu. Wiem, że jutro dwóch z nas zginie, a jeden przeżyje. Nie wiem, jaki jest mój los, wiem też, że mi go nie powiesz. Gdybyś jednak mógł mi zdradzić imię jednego z moich dwóch współtowarzyszy, który jutro zostanie stracony nie zdradziłbyś się chyba wiele?”

Strażnik pomyślał chwilę i stwierdził, że faktycznie, nic się nie stanie jeżeli zdradzi, który z pozostałej dwójki na pewno zginie, skoro i tak więźniowie się nie mogą porozumieć. Mówi więc:

“W porządku, jeśli ta informacja Ci pomoże, to więzień B jutro na pewno umrze.”

Więzień A był zadowolony. Wiedział, że skoro B na pewno umrze, to jutro wyrok zostanie wykonany jeszcze na więźniu A lub C – szanse na to, że drugim skazanym będzie A są równe szansom, że skazany zostanie C, co oznacza, że teraz więzień A ma 50% szans na przeżycie.
Czy więzień A ma rację?

Odpowiedź strażnika
Więzień A podziękował strażnikowi, że dzięki jego informacjom szanse na przeżycie wzrosły. Strażnik jednak namyślił się, i powiedział do więźnia tak:

“Cieszysz się, choć nie wiesz, czy powiedziałem prawdę. Skąd wiesz, że nie zmyśliłem?”

Więzień odpowiedział, że to nie jest ważne, bo nawet jeśli strażnik kłamał, to poprawną odpowiedzią byłoby, że zginie C, co nadal daje 50% szans na przeżycie więźniowi A. Strażnik powiedział więc:

“Skoro nie jest dla Ciebie ważne czy mówiłem prawdę czy nie, to dlaczego w ogóle się mnie nie pytałeś? Mogłeś sam sobie odpowiedzieć na pytanie że zginie B, wówczas nawet gdybyś nie miał racji i B przeżyje to Twoje szanse wynosiły by i tak 50%…”

Więzień A przemyślał chwilę całą sytuację i zgadł, gdzie leży błąd. Gdzie?

  Paradoks nieskończonego hotelu - Paradoks Hilberta

Rozwiązanie dylematu więźnia

Rozumowanie więźnia A jest błędne. Wykluczenie zdarzenia elementarnego, polegającego na tym, że uwolniony zostaje więzień B nie jest równoznaczne ze zmianą prawdopodobieństwa bycia powieszonym. Szanse na przeżycie są paradoksalnie takie same jak były przed ogłoszeniem tej informacji. Kluczowe są następujące rzeczy:

  1. strażnik nie może powiedzieć imienia pytającego, nawet jeśli ten więzień ma jutro umrzeć
  2. to, że znany jest wyrok jednego z więźniów należy uwzględnić w kalkulacjach

Rozwiązanie zagadki przedstawię na kilka sposobów:

Sposób 1

Pozornie, rozumowanie więźnia A wydaje się logiczne. Po ujawnieniu jednego ze skazanych zostało dwóch więźniów, z których jeden z nich zginie. Istnieje tutaj jednak poważna luka, gdyż więzień nie uwzględnił informacji o tym, kto na pewno nie zostanie uniewinniony. Początkowo, istniało prawdopodobieństwo 66% na egzekucję i 33% na uwolnienie. W pierwszym przypadku powieszony został by więzień A i któryś z współwięźniów, w drugim przypadku powieszeni zostali by więźniowie B i C. Na poniższym schemacie czerwonym kolorem zaznaczyłem osoby, które zostaną powieszone:

prawdopodobieństwomożliwości
66%A B C
A B C
33%B C

Ten schemat należy skorygować, wykreślając możliwość uwolnienia więźnia B:

prawdopodobieństwomożliwości
66%A B C
A B C
33%B C

Kluczowe jest zwrócenie uwagi na to, że wykreślenie tej opcji nic nie zmienia w początkowym prawdopodobieństwie 33% szans na uwolnienie i 66% na egzekucję – po prostu, wyklucza to jedną z opcji, która prowadziła do egzekucji B. Będąc w sytuacji więźnia A nie wie on, czy znalazł się on w sytuacji A B C czy A B C – jedyne co powinien wiedzieć to to, że znalezienie się w pierwszej z rozpatrywanych sytuacji jest dwa razy bardziej prawdopodobne.
Rozumowanie więźnia A okazuje się błędne – wnioski, jakie wyciągnął byłyby poprawne jedynie w sytuacji, gdyby strażnik mógł wymienić również i jego imię. Sam fakt wypowiedzenia imienia więźnia B jest bez znaczenia w rozpatrywanej sytuacji, ponieważ rozkład prawdopodobieństwa dokonał się nie wtedy, gdy więzień zadał pytanie strażnikowi, a raczej w momencie podjęcia decyzji o uwolnieniu jednego z więźniów.

  Paradoks nieskończonego hotelu - Paradoks Hilberta

Sposób 2 – zwiększenie liczby więźniów

Wyobraźmy sobie, że mamy 10 zamiast 3 więźniów. Jeden z nich będzie ułaskawiony, a strażnik zdradza imiona 8, którzy będą powieszeni. Jeśli A będzie uwolniony (szansa na to wynosi 10%), to strażnik może na 9 sposobów podać kombinacje 8 imion z 9 pozostałych więźniów (każda kombinacja z prawdopodobieństwem 1/90). Jeśli A będzie powieszony (na co jest 90% szans), to strażnik tylko w jeden sposób może podać 8 imion. Podsumowując, strażnik może zdradzić więźniowi imiona skazanych na 10 sposobów. Pomimo, iż zostawi więźnia z domysłem, że na 50% umrze on lub ostatni współwięzień, szansa przeżycia nadal pozostaje 1/10, bowiem w 90% przypadków wymieniona kombinacja pochodzi z tego wariantu, w którym więzień ma być powieszony.

Sposób 3 – wymienienie możliwości

Jeżeli uwolniony ma zostać więzień A, to obaj więźniowie B i C zostaną powieszeni. Jeśli zatem A pyta się strażnika o wymienienie jednego z imion, to w odpowiedzi może usłyszeć albo B albo C. Mamy więc pierwsze dwie opcje (mała litera oznacza uwolnienie, litera w nawiasach oznacza odpowiedź strażnika):

  • a B C [C]
  • a B C [B]

Jeśli uwolniony ma zostać B, to ścięty będzie A i C. Strażnik zapytany o imię skazanego może odpowiedzieć jedynie C. Rozpatrujemy tę sytuację jako dwa przypadki. Przyjmujemy, że strażnik losuje imię więźnia które zdradzi, i jeśli wylosuje A, wówczas i tak mówi C. Mamy więc:

  • A b C [A][C]
  • A b C [C]

Jeśli uwolniony ma zostać C, to możliwości są następujące:

  • A b C [A][B]
  • A B c [B]

Jeśli z tych 6 przypadków wybierzemy tylko te, w których strażnik daje odpowiedź B, tj.:

  • a B C [B]
  • A b C [A][B]
  • A B c [B]

to wyraźnie widać, że w dwóch przypadkach na trzy A zostanie powieszony, a w jednym na trzy, że zostanie uwolniony. To kolejny dowód na błąd we wnioskach więźnia A.

Dodaj komentarz